También podrías hacer una modificación, la cual consistiría en poner una columna cilíndrica paralela a la primera y suficiente robusta para que no permita la torsión lateral. Con esto solucionarías el que te gire el cabezal.
Esto lo descarté desde el principio cuando me imagine, cuál torrente de ideas, todas las soluciones posibles. Y por cierto que afinando búsquedas gracias a todos los comentarios he encontrado una foto, muy interesante, en el foro de donde creo que se publicó ha desaparecido, como tantas veces ocurre por aquí, aunque en el google imagenes se conserva:

Creo que ilustra lo que querias decir, y cuanto más la miro más pienso que quizás es suficientemente rígida para desplazarse sin perder el centro.
Otro sistema que he encontrado me parece mucho menos preciso, parece que utiliza una columna pequeña paralela, pero solo sujeta por abajo, y una guia que se desplaza, me da la imporesión que tendrá holgura o juego. Además tal y como está puesta la manivela no puede girar y hay que ponerle motorización.

La otra solución es dejarlo como está, cuando voy a atacar una pieza, tomar las medidas de todas las herramientas con las que voy a trabajar y poner todo el cabezal a la mínima altura para poder cambiarlas sin tener que moverlo, aunque si he de cambiar el Morse, tengo que dejar el cabezal muy alto, y como dije no me gusta, y además he leído que no es bueno trabajar con toda la caña bajada.